ЛЕКЦИЯ 11 К СОДЕРЖАНИЮ
  1. Каноническое уравнение эллипса.
  2. Исследование формы эллипса.
  3. Соотношения для фокальных расстояний эллипса.
  4. Эксцентриситет эллипса.
  5. Директрисы эллипса.
  6. Гипербола.
  7. Исследование формы гиперболы.
  8. График гиперболы.
  9. Эксцентриситет гиперболы.
  10. Парабола.
  11. Исследование формы параболы.
  12. Физические свойства эллипса, параболы.
  13. Вопросы для самопроверки.

Каноническое уравнение эллипса

 Эллипсом – называется геометрическое место точек на плоскости, сумма расстояний которых до двух заданных точек, называемых фокусами, есть, величина постоянная, большая чем расстояние между фокусами.(фильм)
 Комментарии к определению: F1 и F2 – фокусы, | F1F2 | = 2·с — расстояние между фокусами, | MF1 | + |MF2| = 2·a >2·c — определение эллипса.
 Система координат, в которой уравнение имеет наиболее простой вид, называется канонической.  Проведём ось абсцисс через фокусы, начало координат поместим в середине между фокусами, ось ординат направим перпендикулярно. Пусть М(х, у) — произвольная точка на эллипсе, тогда F1(- c; 0) и F2(c; 0). Расстояния текущей точки эллипса до её фокусов называются фокальными расстояниями |MF1| = r1, |MF2| = r2 и, по определению эллипса, имеем r1 + r2 = 2·a.
 Воспользовавшись формулой расстояния между двумя точками, из определения эллипса имеем:
 Избавимся от иррациональности, возведя обе части соотношения
в квадрат:
далее
Разделив обе части последнего соотношения на a2b2, получим каноническое уравнение эллипса
.

Исследование формы эллипса

 Так как
то эллипс лежит внутри прямоугольника со сторонами х = ± а, у = ± b.
 Эллипс является симметричным относительно начала координат и относительно осей координат. Это следует из-за того, что в уравнении эллипса переменные x и y входят квадратами x2, y2. Если уравнению эллипса удовлетворяет точка с координатами x и y, то уравнению эллипса будут удовлетворять точки с координатами ( −x, − y), (− x, y), (x, − y).
 Фокусы эллипса лежат на его большой оси эллипса.

Соотношения для фокальных расстояний эллипса

 Убедимся в том, что если координаты точки удовлетворяют каноническому уравнению эллипса, то сумма расстояний этой точки до двух точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, большая, чем расстояние между фокусами. Для этого, очевидно, достаточно показать, что величины r1 и r2 для любой точки, координаты которой удовлетворяют уравнению эллипса, удовлетворяют соотношению r1 + r2= 2·a.
 Найдём из уравнения эллипса
и подставим это выражение в соотношение
Получим
 После преобразования получим соотношение для фокального радиуса
 Так как по определению с < a и | х | < a, то выражение в скобках под знаком корня положительно, поэтому
 Аналогично найдём
 Складывая фокальные расстояния, получим r1 + r2 = 2·a
 Что и требовалось доказать. Таким образом, эллипс — линия второго порядка.
 Замечание. Если а = b, то уравнение эллипса принимает вид x2 + y2= a2. Это уравнение окружности радиуса а. Таким образом, окружность — частный случай эллипса. Заметим, что эллипс можно получить из окружности радиуса а, если сжать ее в аb раз вдоль оси Оу.
 Оси симметрии эллипса называются его осями, а центр симметрии (точка пересечения осей) — центром эллипса. Точки, в которых эллипс пересекает оси, называются его вершинами. Вершины ограничивают на осях отрезки, равные 2·а и 2·b. Если аb, величины а и b называются соответственно большой и малой полуосями эллипса.

Эксцентрисит эллипса

 Определение. называется отношение ca, где с — половина расстояния между фокусами, а — большая полуось эллипса.
 Эксцентриситет обозначают буквой ε: ε = ca. Так как ε = сa, то 0 ≤ ε ≤ 1. Принимая во внимание, что ε2 = с2a2 = ( a2b2) ⁄ a2 = 1 – (ab)2, получим
 Из последнего равенства легко получается геометрическое истолкование эксцентриситета эллипса. При очень малом ε числа а и b почти равны, т.е. эллипс близок к окружности. Если же ε близко к единице, то число b весьма мало по сравнению с числом а и эллипс сильно вытянут вдоль большой оси. Таким образом, эксцентриситет эллипса характеризует меру вытянутости эллипса. Соотношения для фокальных радиусов для эллипса примут вид
r1 = a + ε·x, r2 = a - ε·x

Директрисы эллипса

  Определение. Две прямые, перпендикулярные большой оси эллипса и расположенные симметрично относительно центра на расстоянии а⁄ ε от него, называются директрисами эллипса (здесь, а — большая полуось, ε — эксцентриситет эллипса).
 Так как для эллипса ε < 1, то a ⁄ ε > a. Отсюда следует, что правая директриса расположена правее правой вершины эллипса, а левая — общее свойство, присущее эллипсу.
 Теорема. Если r1 — фокальное расстояние произвольной точки М эллипса до какого-нибудь фокуса, d — расстояние от той же точки до соответствующей этому фокусу директрисы, то отношение r1d есть постоянная величина, равная эксцентриситету эллипса.
 Д о к а з а т е л ь с т в о. Предположим для определенности, что речь идет о правом фокусе F1 и правой директрисе. Пусть М (х; у) — произвольная точка эллипса. Расстояние от точки М до правой директрисы выражается равенством

Кроме того,
r2 = a - ε·x
Составляя отношение, получим

 Аналогично доказывается для левого фокуса эллипса.

Гипербола

 Гиперболой называют геометрическое место точек на плоскости, модуль разности расстояний которых до двух заданных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, меньшая, чем расстояние между фокусами.
 Для вывода канонического уравнения гиперболы выберем систему координат следующим образом:
 По условию F1F2 = 2·с, тогда фокусы имеют координаты F1(- с, 0), F2(с, 0). Пусть М(x, y) — произвольная точка гиперболы, и по определению |МF1| − |МF2| = 2 ·a < 2·c.
Воспользовавшись формулой расстояния между двумя точками и проведя процедуру избавления от иррациональности, будем иметь:
Если ввести обозначение b2 = c2 a2, то уравнение гиперболы примет вид
x2·b2 a2·y2 = a2 b2.
Выполнив преобразование, аналогичное выводу уравнения эллипса, получим каноническое уравнение гиперболы:

Исследование формы гиперболы

 Гипербола лежит за полосой со сторонами x = ± a. Действительно, согласно уравнению гиперболы имеет место неравенство
 Гипербола является симметричной относительно начала координат и относительно координатных осей. Это вытекает из того, что в уравнение гиперболы переменные x и y входят с квадратами х2 и у2 и уравнению гиперболы удовлетворяют точки с координатами (х, у), (− х, у), (х, − у), (− х, − у).
 Гипербола имеет две асимптоты
к которым приближаются точки гиперболы при удалении их от начала координат.
 Д о к а з а т е л ь с т в о. Из уравнения гиперболы найдём

 Предел расстояния между точками асимптоты и точками гиперболы равен
 Что и требовалось доказать.

График гиперболы

 Оси симметрии называются осями гиперболы, а центр симметрии (точка пересечения осей) — центром гиперболы. Одна из осей пересекается с гиперболой в двух точках А и С, которые называются ее вершинами. Эта ось называется действительной осью гиперболы. Другая ось не имеет общих точек с гиперболой и называется мнимой осью гиперболы. Прямоугольник со сторонами 2·а и 2·b называется основным прямоугольником гиперболы. Величины а и b называются соответственно действительной и мнимой полуосями.
 Гипербола с равными полуосями а = b называется равносторонней и ее каноническое уравнение имеет вид
x2 y2 = a2.
 Так как основной прямоугольник равносторонней гиперболы является квадратом, то асимптоты равносторонней гиперболы перпендикулярны друг другу.

Эксцентрисистет гиперболы

 Определение.Эксцентриситетом гиперболы называется отношение са, где с — половина расстояния между фокусами, а — действительная полуось гиперболы.
Эксцентриситет гиперболы (как и эллипса) обозначим буквой ε. Так как с > а: то ε > 1, т. е. эксцентриситет гиперболы больше единицы. Очевидно,
 Из последнего равенства легко получается геометрическое истолкование эксцентриситета гиперболы. Чем меньше эксцентриситет, т. е. чем ближе он к единице, тем меньше отношение ba, а это означает, что основной прямоугольник более вытянут в направлении действительной оси. Таким образом, эксцентриситет гиперболы характеризует форму ее основного прямоугольника, а, значит, и форму самой гиперболы.
 В случае равносторонней гиперболы ( a = b) имеем
ε = √2
 Определение. Две прямые, перпендикулярные действительной оси гиперболы и расположенные симметрично относительно центра на расстоянии а ⁄ ε от него, называются директрисами гиперболы (здесь а — действительная полуось, ε — эксцентриситет гиперболы).
 Аналогично случаю эллипса доказывается теорема: если г — расстояние от произвольной точки М гиперболы до какого-нибудь фокуса, d — расстояние от той же точки до соответствующей этому фокусу директрисы, то отношение r ⁄ d есть величина постоянная, равная эксцентриситету гиперболы.
 Установленное свойство эллипса и гиперболы можно положить в основу общего определения этих линий: множество точек, для которых отношение расстояний до фокуса и до соответствующей директрисы является величиной постоянной, равной ε , есть эллипс, если ε < 1, и гипербола, если ε > 1.

Парабола

ФИЛЬМ
 Параболой называется геометрическое место точек на плоскости, расстояния которых до некоторой точки, называемой фокусом и до некоторой прямой, называемой директрисой, не проходящей через фокус, равны.
 Для вывода уравнения параболы введем на плоскости прямоугольную систему координат так, чтобы ось абсцисс проходила через фокус перпендикулярно директрисе, и будем считать ее положительным направлением направление от директрисы к фокусу; начало координат расположим посередине между фокусом и директрисой. Выведем уравнение параболы в выбранной системе координат.
 Пусть М (х; у) – произвольная точка плоскости. Обозначим через r расстояние от точки М до фокуса F, пусть r = FM,
Через d – расстояние от точки до директрисы, а через р расстояние от фокуса до директрисы. Величину называют параметром параболы, его геометрический смысл раскрыт далее. Точка М будет лежать на данной параболе в том и только в том случае, когда r = d.
В этом случае имеем
Далее избавимся от иррациональности
 Уравнение
y2 = 2 p x
называется каноническим уравнением параболы.
 Проверим, что каноническое уравнение, получаемое возведением в квадрат обеих частей уравнений, не приобрело «лишних» корней. Для этого достаточно показать, что для любой точки М (х; у), координаты которой удовлетворяют каноническому уравнению, удовлетворяют определению параболы.
 Действительно, из уравнения
y2 = 2 p x
вытекает, что х ≥ 0 и поэтому для точки М (х; у) с неотрицательной абсциссой имеем d = р ⁄ 2 + х. Подставляя значение у2 из канонического уравнения параболы в выражение
и, учитывая, что x ≥ 0, получаем
т.е. величины r и d равны, что и требовалось показать. Таким образом, уравнению
y2 = 2 p x
удовлетворяют координаты точек данной параболы, и только они.

Исследование формы параболы

Точка О называется вершиной параболы, ось симметрии (ось Ох) — осью параболы.

Физические свойства эллипса, параболы

Вопросы для самопроверки

  1. Что такое эллипс как геометрическое место точек?
  2. Что такое гипербола как геометрическое место точек?
  3. Что такое парабола как геометрическое место точек?
  4. Что называется канонической системой координат?
  5. Как определяется каноническая система координат для эллипса?
  6. Как определяется каноническая система координат для гиперболы?
  7. Как определяется каноническая система координат для параболы?
  8. Найдите координаты фокусов эллипса с уравнением .
  9. Найдите координаты фокусов гиперболы с уравнением .
  10. Найдите уравнение директрисы для параболы .