ЛЕКЦИЯ 13 К СОДЕРЖАНИЮ
  1. Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданному направлению.
  2. Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки.
  3. Уравнение плоскости в отрезках на осях.
  4. Угол между пересекающимися плоскостями.
  5. Частные случаи расположения плоскости в пространстве.
  6. Расстояние от точки до плоскости.
  7. Решение задач на плоскость в пространстве в пакете MAPLE.
  8. Вопросы для самопроверки.

Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданному направлению

  Плоскостью, проходящей через заданную точку M0(x0, y0, z0) перпендикулярно заданному направлению называется геометрическое место точек концов векторов, имеющих началом М0 и перпендикулярных вектору . Пусть M(x, y, z) произвольная точка плоскости. В этом случае
.
Воспользовавшись условием перпендикулярности двух векторов , получим или
A·(x - x0) + B·(y - y0) + C·(z - z0) = 0.
Раскрыв скобки и приведя подобные, получим
x + B·y + C·z + D = 0.
где D = − A·x0 − B·y0 − C·z0.
 Таким образом, A·x + B·y + C·z + D = 0 — общее уравнение плоскости. Из уравнения плоскости и постановки задачи следует геометрический смысл коэффициентов А, В, С — координаты вектора, перпендикулярного плоскости.

Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки

 Пусть даны три точки M0(x0 , y0, z0), M1(x1, y1, z1), M2(x2, y2, z2), которые лежат в одной плоскости. Пусть М (x, y, z) произвольная точка этой плоскости. Тогда векторы M0M, M0M1, M0M2 лежат в одной плоскости и их смешанное произведение равно нулю:
M0M×(M0M1·M0M2) = 0
Расписывая смешанные произведения в координатной форме, получим:
Раскроем определитель по первой строке:
Если ввести обозначения , , , то получим A·(x - x0) + B·(y - y0) + C·(z - z0) = 0, уравнение плоскости.

Уравнение плоскости в отрезках на осях

 Пусть плоскость пересекает координатные оси в точках (a, 0, 0) (0, b, 0) (0,0, c).
Для вывода уравнения воспользуемся уравнением плоскости, проходящей через три заданные точки:
.
Раскрыв определитель, получим (x - ab·c y·(− a·c) + z·(a·b) = 0 или x·b·c + y·a·c + z·a·b = a·b·c.
Окончательно получим уравнение плоскости в виде
.
 П р и м е р. Привести общее уравнение плоскости 3·x − 2·y + 5·z − 15 = 0 к виду в отрезках на осях.
 Р е ш е н и е. Перенесём - 15 в правую часть и почленно разделим на это число правую и левую части данного уравнения плоскости 3·x − 2·y + 5·z = 15, ↔ .

Угол между пересекающимися плоскостями

 Пусть даны две плоскости A1·x + B1·y + C1·z + D1 = 0 и A2·x + B2·y + C2·z + D2 = 0. Если они пересекаются, то угол между плоскостями определяется как угол между нормальными векторами этих плоскостей. Угол между двумя нормальными векторами определяется через скалярное произведение в координатной форме.
,
где и - нормальные векторы плоскостей.
 Линии, по которым плоскость пересекает координатные плоскости, называются следами.
 Если плоскости параллельны, то нормальные векторы этих плоскостей тоже параллельны. Для нормальных векторов плоскостей N1 и N2 выполняется условие коллинеарности (координаты векторов пропорциональны):
,
Это и будет условием параллельности двух плоскостей.
 Если плоскости перпендикулярны, то нормальные векторы плос-костей перпендикулярны. Используя условие перпендикулярности векторов в координатной форме, получим условие перпендикулярности плоскостей
A1·A2 + B1·B2 + C1·C2 = 0.

Частные случаи расположения плоскостей в пространстве

  1. 1. A·x + B·y + D = 0 - уравнение плоскости, параллельной оси oz. На координатной плоскости ХУ уравнение плоскости представляет уравнение её следа.
  2. x + C·z + D = 0 - уравнение плоскости, параллельной оси ОY. На координатной плоскости ОXZ уравнение плоскости представляет уравнение её следа.
  3. y + C·z + D = 0 - плоскость параллельна оси OX. На координатной плоскости ОYZ представляет уравнение её следа.
  4. х + B·у + C·z = 0 – плоскость проходит через начало координат, т.к. x = 0, y = 0, z = 0 удовлетворяет уравнению плоскости и все следы плоскости проходят через начало координат.
 Пример. Даны две плоскости 2·x+3·y + 6=0 и 4·x + 8·z − 12 = 0. Построить плоскости и найти линию пересечения этих плоскостей
Указание: линия пересечения двух плоскостей проходит через точки пересечения соответствующих следов.

Расстояние от точки до плоскости

 Пусть дана плоскость A·x + B·y + C·z + D = 0 и точка M0(x0, y0, z0). Так как точка M0(x0, y0, z0) не лежит на плоскости, то
x0 + B·y0 + C·z0 + D = α ≠ 0.
Выберем произвольную точку M(x, y, z) на плоскости. В этом случае имеем
x + B·y + C·z + D = 0.
Вычитая из первого соотношения второе, получим
A·(x - x0) + B·(y - y0) + C·(z - z0) = α.
Последнее соотношение представляет собой скалярное произведение нормального вектора плоскости и вектора M0M в координатной форме. По определению скалярного произведения имеем или . Или окончательно

Решение задач на плоскость в пространстве в пакете MAPLE

>restart:with(geom3d):point(M0,-6,5,5):point(M1,-2,0,-4),point(M2,-1,7,1),point(M3,4,-8,-4): plane(p,[M1,M2,M3]):Equation(p,[x,y,z]);– уравнение плоскости, проходящей через три заданные ьлчки.
>distance(M0,p); – расстояние от точки до плоскости.
> point(A,0,0,0): n:=Vector([0,4,-3]); plane(p,[A,n]); Equation(p,[x,y,z]); – уравнение плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданному направлению.
4y - 3z = 0

Вопросы для самопроверки

  1. Какой вид имеет общее уравнение плоскости в пространстве?
  2. Какой вид имеет общее уравнение плоскости, параллельной оси Ох?
  3. Какой вид имеет общее уравнение плоскости, параллельной оси Оу?
  4. Какой вид имеет общее уравнение плоскости, параллельной оси Оz?
  5. Какой особенностью обладает уравнение плоскости, проходящей через начало координат?
  6. Что называется следом плоскости?
  7. Как построить в пространстве линию пересечения двух плоскостей?
  8. Как по уравнению плоскости найти координаты вектора, перпендикулярного плоскости?